POTENCIAS Y RADICALES

Una potencia de un numero es el producto de varios factores iguales a el.

EJEMPLO:2⁷= 2*2*2*2*2*2*2= 128

El numero que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia.

El exponente indica cuantas veces hay que multiplicar la base.

En general si m es un numero entero tenemos que  a^m=a*a*a…….*a

RADICALES

La radiación es la operación de inversa de loa potenciación y permite hallar la base correspondiente conociendo potencias y el exponente .

 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Para simplificar un radical se descompone o factoriza el radicando en factores cuyos exponentes  sean múltiplos del índice.

Las raizes de estos factores se escriben fuera del radical y los factores sobrantes  forman el nuevo radicando

Para realizar estas operaciones es necesario que los radicales sean semejantes es decir que tengan el mismo índice y el mismo radicando.

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Para simplificar un radical se descompone o factoriza el radicando en factores cuyos exponentes sean múltiplos del indice.

SUMA Y RESTA DE RADICALES

Para realizar estas operaciones es necesario que los radicales sean semejantes es decir que tenga el mismo indice  y el mismo radicando.

MULTIPLICACIÓN Y DIVICION DE RADICALES

Para realizar esto es necesario hacer uso de las leyes de los exponentes y radicales 

PRODUCTOS NOTABLES

productos notables es el nombre que reciben las multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir  mediante simple, inspección sin verificar la multiplicación que cumple ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales cada producto notable corresponde a una formula de factorización. Por ejemplo: la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de los binomio conjugados, y recíprocamente.

FACTOR COMÚN

El resultado de multiplicar un binomio a+b un termino c se obtiene aplicando la propiedad destructiva.

C(A+B)=CA + CD

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura.

El área del rectángulo es C(A+B) ( el producto de la base por la altura) que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: CA Y CB

EJEMPLO:

3X (4x+6y)= 12x² + 18xy

PRODUCTOS NOTABLES

 Se le llama así a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección es decir sin verificar la multiplicación

DIVICION DE POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS

PARA DIVIDIR POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS ES NECESARIO:  dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio realizando las operaciones correspondientes que se realizaban en la división de monomios entre monomios 

DIVICION DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio de un monomio se divide cada termino del polinomio entre el monomio.

DIVICION DE UN POLINOMIO

Para realizar una  división se tiene que acomodar los términos respecto a X para obtener el primer termino del cociente se divide el primer numero del dividendo entre el primer numero del divisor

Si multiplicamos el primer termino del cociente por el divisor se obtiene el producto que se resta del dividendo para ello cambiamos el signo de todos los términos del producto obtenido disponiendo de la operación.

Se divide el primer termino del dividendo parcial entre el primer termino del divisor para obtener el segundo termino del cociente.

Se multiplica el segundo  del cociente por todo el dividendo y el producto se resta del primer término parcial.

El resultado de la resta  es el segundo parcial que se complementa bajando uno o mas términos según sea necesario 

Se repite el procedimiento asta que el ordenador es un residuo igual a cero o un dividendo parcial cuyo grado sea inferior al divisor (división inexacta).

LEY DE LOS SIGNOS

El producto de números con el mismo signo nos da como resultado un número positivo

(+)X (+)=+    Y     (-) X (-) = +

La multiplicación con signos diferentes nos da como resultado un número negativo

(+) (-)=-

(-) (+)=-

LEY DE LOS EXPONENTES

Nos dice que los exponentes  con los mismos literales se suman.

Operaciones básicas con polinomios

Suma de polinomios: 

la suma algebraica consiste en reunir 2 o mas expresiones algebraicas en una sola. Para sumar dos o más polinomios se acomodan de manera descendente los términos y posteriormente se acomodan uno debajo del otro de manera que queden los términos semejantes  en la misma columna

Nota: si los polinomios no tienen algún termino semejante con el polinomio inicial de dejan los espacios. 

Resta de polinomios:

 Para restar dos polinomios se escribe el minuendo y después el sustraendo cambiando signos a cada uno  de sus términos. Posterior mente se reducen los términos semejantes.

Multiplicacion de polinomios:

 la multiplicación es la operación que consiste en sumar una cantidad tantas veces le indique la 2° cantidad para multiplicar de términos algebraicos es necesario conocer la propiedades de la multiplicación conmutativas nos dice que el orden de los  factores no altera el producto 2° propiedad asociativa

Asociativa: nos dice que al multiplicar 3 o mas factores el producto es el mismo sin importar el orden en que se multipliquen.

Distributiva: nos dice que la suma de 2 o mas números multiplicado por un 3°numero es  igual a la suma de producto del numero con cada uno de losa sumados.

Propiedad del elemento neutro multiplicativo: nos dice que la multiplicación de cualquier numero por 1 es igual al mismo numero.

Propiedad del elemento inverso:

Al multiplicar el inverso por su número nos da como resultado la unidad

 Propiedad obsorbente: 

Nos dice que cualquier número multiplicado por cero nos da cero.

EVALUACIÓN NUMÉRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Evaluar una expresión algebraica significa asignarle  valores numéricos  a las literales y después efectuar las operaciones indicadas 

LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el periodo de Al-Khwarizmi, al cual se le considero en padre del álgebra.

El lenguaje del álgebra consta principalmente en las letras del alfabeto y algunos vocablos griegos.

La principal función del lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar  las diferentes operaciones que se desarrollaron dentro de la aritmética

También el lenguaje algebraico ayuda  a mantener relacionado el razonamiento de problemas a los que pueden enfrentarse

Para resolver un problema matemático utilizando el álgebra es necesario traducir el problema que se encuentra en lenguaje cotidiano  a lenguaje algebraico.

Para esto es necesario identificar expresiones comunes que permitan la traducción del problema a una expresión algebraica y viceversa. 

Signos de agrupación

Se utilizaron para indicar  que las cantidades contenidas entre ellos pueden ser  consideradas como un todo se emplean para alterar el orden delas operaciones y cuando existen operaciones dentro de ellas esto deben efectuarse primero los signos de agrupación son 3 :{ [ ( ) ] }

Para suprimir signos de agrupación se eliminan estos de adentro hacia afuera.

Reducción de términos semejantes

Los términos semejantes con el mismo  signo se suman sus coeficientes y se coloca el mismo  termino algebraico cuando los términos tienen diferentes signos  se resta al mayor coeficiente al mayor y se coloca el signo de este dejando el mismo termino algebraico.

 ab²-3ab³= -2ab²

CLASIFICACIÓN DE EXPONENTES ALGEBRAICOS

De acuerdo con el numero de términos que contenga una expreciòn algebraica esta se puede clasificar en dos tipos.

A) monomio: es una expreciòn formada por un solo termino.

-5 a² m³ n²

B) polinomios:  es una expresión algebraica que indica la suma o resta de dos o mas términos , estos puede ser o no semejantes.

 25m²+ 6m-b+3c-5

Dentro de los polinomios podemos encontrar otra sub clasificación.

1.-Binomios: es un polinomio formado por dos términos

4-2y

2.- Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos

a² + b² + c²

En un polinomio pueden existir términos semejantes que son dos o mas términos que tienen la misma parte literal (mismas letras con sus exponentes)

Cuando los términos son semejantes podemos hacer reducción de términos es decir simplificamos los términos.

El grado de un polinomio al igual que un grado puede ser absoluto relativo.

El grado absoluto de un polinomio es el mayor grado absoluto de cada una de sus términos.

El grado relativo de un polinomio con respecto a una letra es el mayor exponente que tiene la letra en el polinomio.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica esta representada por letras números y  signos. Las letras son todas las del abecedario y los números son todos los reales. Un término algebraico es una expresión algebraica formada por números concretos y literales no separados entre si por el signo + o – sus elementos son 4:

Signo: indicación de términos es positivo o negativo cuando se omite el signo se considera positivo.

Coeficiente: son los números que aparecen multiplicando a las literales

Literal: esta formada por las letras que aparecen el termino con sus exponentes correspondientes.

Exponente: es el numero de veces que la base se multiplica por si misma.

OPERACIONES BÁSICAS 

Suma: consiste en obtener el numero total de elementos a partir de dos o mas cantidades.

a+b=c

Resta: es la operación inversa de la suma, si los números tienen el mismo signo al numero mayor se le resta el menor y prevalece el signo del numero mayor, si los dos números tienen signos diferentes se suman

a-b=c

Multiplicación: consiste en sumar uno de los factores con signo mismo tantas beses como indica el otro factor

  a*b=c

Divicion : consiste en averiguar cuantas beses un termino esta contenido en otro

Potenciacion: es una multiplicación de un factor tantas beses como su exponente lo indique.

 aⁿ=a

Radicacion:es la operacion inversa de la potenciacion 

ALGEBRA

Números reales: todos los números ya sea natural, entero, racional o irracional.

Números enteros: son los que no tienen puntos decimales

Números naturales:  son todos los números que se usan para contar.

Números fraccionarios: es un número que puede expresarse en forma de fracciones

ANTECEDENTES DEL ÁLGEBRA

La palabra viene del vocabulario árabe (al-yabr) sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios que habían desarrollaron un avanzado sistema aritmético con el que fueron capases  de hacer  calculos de una forma algebraica en el uso de este sistema fueron capases de aplicar la formula y soluciones para  calcular valores desconocidos

La mayoría de los egipcios de esta época y la mayoría de la india griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de cristo normalmente resolvían los problemas por métodos geométricos en 820 la palabra (al-yabr) significa reducción.

      Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cubicas cuarticas desarrollado a medidas del siglo XVl la idea de un factor determinante fue desarrollado por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVll seguido por Godfried Leibniz   diez años mas tarde con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultaneas utilizando matrices